MODÜLER ARİTMETİK

MODÜLER ARİTMETİK a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan, b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler} bir denklik bağıntısıdır. b denklik bağıntısı olduğundan Her (a, b) Î b için, a º b (mod m) biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir. * Ü ise* a º b (mod m) a = b + mk, k Î Z  Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar: 0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir. Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m biçiminde gösterilir. Buna göre,  Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve a º b (mod m) c º d (mod m) olmak üzere, 1) a + c º b + d (mod m) 2) a – c º b – d (mod m) 3) a . c º b . d (mod m) 4) an º bn (mod m) 5) a – b º 0 (mod m) 6) k . a º k . b (mod m) dir. 7) n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise  8) a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir. * Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.  * Ü* x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise, xm – 1 º 1 (mod m) dir. *** x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir. Ü* x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi   m = ak . b r . c p ve xT º 1 (mod m) dir. Ü m asal sayı ise,* (m – 1)! + 1 º 0 (mod m) dir